如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AF平分∠BAC交CD于点E,交BC于点F,CG平分∠BCD交AB于点G.求证：CG垂直平分EF.

题目

如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AF平分∠BAC交CD于点E,交BC于点F,CG平分∠BCD交AB于点G.求证：CG垂直平分EF.

答案

证明：
设CG与AF交于点H
∵∠ACB=90°,CD⊥AB
∴∠BCD=∠CAB
∵∠CAF=∠BAF=1/2∠BAC,∠DCG=∠BCG=1/2∠BCD
∴∠BAF=∠DCG
∵∠AED=∠CEH (对顶角)
∴△ADE∽△CHE
∴∠CHE=∠ADE=90°
∴∠CHE=∠CHF=90°
∵CH=CH
∴△CHE≌△CHF
∴EH=HF
∴CH垂直平分EF
即CG垂直平分EF