设x,y,z为不全为零的实数,求证 (2yz+2zx+xy)/(x^2+y^2+z^2)≤(√33+1)/4

题目

设x,y,z为不全为零的实数,求证 (2yz+2zx+xy)/(x^2+y^2+z^2)≤(√33+1)/4
设x,y,z为不全为零的实数,求证
(2yz+2zx+xy)/(x^2+y^2+z^2)≤(√33+1)/4
证明：只需考虑x≥0,y≥0,z≥0,
2yz+2zx+xy≤1/2xx+1/2yy+γyy+(1/γ)zz+(1/γ)zz+γxx……
为什么要这样设γ?是怎么想到的?

答案

这个主要是由於分子和分母是齐次的,而且yz和xz系数相同,但是与xy不相同,所以要添加一个系数让
1/2(x²+y²) >=xy
γx² + 1/γ z² >= 2xz
γy² + 1/γ z² >= 2yz
相加得(1/2+1/γ)x² + (1/2+1/γ)y² + 2/γz² >= 2yz+2zx+xy
若(1/2+1/γ) = 2/γ = 1刚好得γ = 2
其实就是刚好凑出来得,当然可以分别给3个方程都配上系数,那麽可以得到一个3元1次方程,可以解出3个系数来,和这裏得系数刚好一样