A,B,C为⊙O上的三点,D,E分别是AB、AC的中点,连接DE,分别交AB,AC于F,G,求证:AF=AG.
题目
A,B,C为⊙O上的三点,D,E分别是
、
的中点,连接DE,分别交AB,AC于F,G,求证:AF=AG.
答案
证明:如图,
连结OD、OE,
∵D,E分别是
、
的中点,
∴OD⊥AB,OE⊥AC,
∴∠D+∠DFB=90°,∠E+∠EGC=90°,
∵OD=OE,
∴∠D=∠E,
而∠AFG=∠DFB,∠AGF=∠EGC,
∴∠AFG=∠AGF,
∴AF=AG.
先根据垂径定理得到OD⊥AB,OE⊥AC,则∠D+∠DFB=90°,∠E+∠EGC=90°,加上∠D=∠E,∠AFG=∠DFB,∠AGF=∠EGC,易得∠AFG=∠AGF,于是根据等腰三角形的判定即可得到AF=AG.
圆心角、弧、弦的关系;圆周角定理.
本题考查了圆心角、弧、弦的关系:在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.也考查了垂径定理.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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