设G,M分别为三角形ABC的重心和外心,A(-1,0),B(1,0)且向量GM与向量AB平行,C的轨迹为E,E与Y轴两个上下交点为A2,A1,动点M,N均在E上,且满足向量A1M点乘向量A1N=0,直

设G,M分别为三角形ABC的重心和外心,A(-1,0),B(1,0)且向量GM与向量AB平行,C的轨迹为E,E与Y轴两个上下交点为A2,A1,动点M,N均在E上,且满足向量A1M点乘向量A1N=0,直

题目
设G,M分别为三角形ABC的重心和外心,A(-1,0),B(1,0)且向量GM与向量AB平行,C的轨迹为E,E与Y轴两个上下交点为A2,A1,动点M,N均在E上,且满足向量A1M点乘向量A1N=0,直线A1N和A2M交点P是否恒在某条定直线L上,若是,试求出L的方程;若不是,请说明理由.
答案
设C(x,y),G(x/3,y/3),则M(0,y/3)
由题意,CM=AM
故x^2+(2/3y)^2=1^2+(y/3)^2
即E:x^2+y^2/3=1
设M(x0,y0),直线A2M的斜率为k1,直线A1M的斜率为k2,直线A1N的斜率为k3.
由x0^2+y0^2/3=1变形:(*)
[(y0-√3)/x0]*[(y0+√3)/x0]=-3
即k1*k2=-3
又k2*k3=-1
故可令k1=3k3=k
则设A2M:y=kx+√3
设A1N:y=(k/3)x-√3
联立直线A2M和A1N,得P(-3√3/k,-2√3)
即P恒在直线y=-2√3上
PS:(*)式所述的变形可以推广到任意标准方程的椭圆和双曲线,LZ可以自己去试试看~~~~
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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