求解三道行列式题

题目

求解三道行列式题
第一题：
1 2 2 ...2
2 2 2 ...2
2 2 3 ...2
............
2 2 0 ...n
第二题：
1 -1 1 x-1
1 -1 x+1 -1
1 x-1 1 -1
x+1 -1 1 -1
第三道：
x a ...a
a x ...a
..........
a a ...x

答案

1.那个0应该是2吧,如果是,你把第i(i=3,4,..,n)行分别减去第二行,然后第二行减去第一行的2倍就变成上三角型行列式,结果为
1*（2-2*2）*（3-2）*（4-2）*...*(n-2)=
-2*(n-2)!
2.把2,3,4列都分别加到第一列,则第一列数都变成x,提取x让第一列数都变成1,再把第一列加到第二列,第一列的负一倍加到第三列,第一列加到第四列,行列式变成：
1 0 0 x
1 0 x 0
1 x 0 0
1 0 0 0
所以该行列式为(-1)^(3+2+1)x^4=x^4
3.同上题,把后面所有列都加到第一列,第一列的数就全是x+(n-1)a(假设是n阶行列式),提取x+(n-1)a,这时第一列全是1,把第一列的-a被分别加到后面所有列,行列式变为：
1 0 0 ...0
1 x-a 0 ...0
1 0 x-a ...0
...............
1 0 0 ...x-a
所以该行列式值为：[x+(n-1)a](x-a)^(n-1)