椭圆e离心率为根号二/2,直线l分别经过椭圆长轴和短轴的一个顶点,且与圆X^2+y^2=2/3相

椭圆e离心率为根号二/2,直线l分别经过椭圆长轴和短轴的一个顶点,且与圆X^2+y^2=2/3相

题目
椭圆e离心率为根号二/2,直线l分别经过椭圆长轴和短轴的一个顶点,且与圆X^2+y^2=2/3相
答案
(1)设椭圆的半焦距为c
则有:
a²=b²+c²
a²+b²=5
c/a=√3/2
解得:
a=2
b=1
c=√3
所以椭圆的方程为:(x²/4)+y²=1
(2)
【方法一】
设交点P(x1,y1),Q(x2,y2)
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1
则S=√3/2
当直线l的斜率存在时
设其方程为y=k(x+1)(k≠0),联立椭圆方程:(x²/4)+y²=1
得:(4k²+1)x²+8k²x+4(k²-1)=0
两个根为x1,x2
x1+x2=-8k²/(4k²+1)
x1•x2=4(k²-1)/(4k²+1)
则|PQ|=[√(1+k²)]|x1-x2|=[√(1+k²)] ×[4√(3k²+1)/(4k²+1) ](k≠0)
又原点到直线l的距离d=|k|/(1+k²)
所以
S=(1/2)|PQ|•d
=(1/2)√(1+k²)×[4√(3k²+1)/(4k²+1) ]×[|k|/(1+k²)]
=2√(3k²+1)k²/(4k²+1 ) (k≠0)
=2√(3k^4+k²)/(16k^4+8k²+1)
=2√[3/16-(8k²+3)/16(16k^4+8k²+1)]
<2•√3/4
=√3/2
所以,当直线l的方程为x=-1时,△POQ面积最大;
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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