设a b c都是实数,且满足(2a-b)²+√a²+b+c+|c+8|=0,ax²+bx+c=0,则代数式x²+x+1的值为

题目

设a b c都是实数,且满足(2a-b)²+√a²+b+c+|c+8|=0,ax²+bx+c=0,则代数式x²+x+1的值为

答案

因为(2a-b)²+√a²+b+c+|c+8|=0 (2a-b)²》0 √a²+b+c》0 |c+8|》0
所以 (2a-b)²=0 √a²+b+c=0 |c+8|=0
（三个非负数的和为零的充分必要条件是分别等于零）
所以 (2a-b)=0,√a²+b+c=0,|c+8|=0 ,2a=b ,a²+b+c=0 ,c=-8 ,a²+2a-8=0
(a+4)(a-2)=0 a1=-4 a2=2 b1=-8 b2=4
因为 ax²+bx+c=0 （1）a1=-4 b1=-8 c=-8 时有 -4x²-8x-8=0 x²+2x+2=0 x在实数范围无解；在复数范围有x²+2x+1=-1 (x+1)²=i² x+1=i 或x+1=-i x1=-1-i,x2=-1+i
x²+2x+2=0 x²+x+1=-x-1 所以x²+x+1=1+i-1=i,或x²+x+1=1-i-1=-i.
（2）当a2=2 b2=4 c=-8时有 2x²+4x-8=0 x²+2x-4=0 x²+2x+1=5 x1=√ 5-1或
x2=-√ 5-1.
所以 x²+2x+1=5 => x²+x+1=5-x =6-√ 5 或 x²+x+1=6+√ 5