已知函数g(x)=x^2+1,f(x)是二次函数,且f(x)+g(x)为奇函数,当x属于[-1,2]时,f(x)的最大值为0.5

题目

已知函数g(x)=x^2+1,f(x)是二次函数,且f(x)+g(x)为奇函数,当x属于[-1,2]时,f(x)的最大值为0.5
求f(x)的解析式

答案

f(x)是二次函数,假定f(x)=y=ax2+bx+c
根据f(x)+g(x)是奇函数,f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x),得f(x)+f(-x)=-g(x)-g(-x),代入g(x)=x2+1,得到f(x)+f(-x)=-2x2-2
再代入f(x)=y=ax2+bx+c,f(-x)=y=ax2-bx+c得
2ax2+2c=-2x2-2
两边要恒等,要求2a=-2,2c=-2,得出a=-1,c=-1
此时,f(x)=y=ax2+bx+c=-x2+bx-1,其顶点为(b/2,b2/4-1),为开口向下的抛物线
要利用当x属于[-1,2]时,f(x)的最大值为0.5这个条件就要讨论b的取值范围
1.当b/2在[-1,2]之间,也就是-1≤b/2≤2时,即-2≤b≤4时,在此抛物线的顶点处取得最大值,这时b2/4-1=0.5,解得b=±√6,但b=-√6不满足-2≤b≤4,所以b=√6,这时,f(x)=-x2+√6x-1
2.当b/2≤-1,即b≤-2时,则在x属于[-1,2]是减函数,则在-1处取得最大值,这时f(1)=0.5=-1-b-1,解得b=-2.5满足b≤-2的条件,这时
f(x)=-x2-2.5x-1
3.当b/2≥2,即b≥4时,在x属于[-1,2]是增函数,在x=2处取得最大值,这时f(2)=0.5=-4+2b-2,解得b=3.25,但不满足b≥4,可排除
综上,f(x)的解析式为f(x)=-x2+√6x-1或者f(x)=-x2-2.5x-1