设f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）． （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性； （Ⅱ）若a=1，证明：x∈[1，2]时，f(x)−3＜1/x成立．

题目

设f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若a=1，证明：x∈[1，2]时，f(x)−3＜

1

x

答案

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），f′(x)＝

1

x+1

+a
当a＞0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，由f′（x）＞0得−1＜x＜−

1

a

；由f′（x）＜0得x＞−

1

a

∴函数f（x）在（−1，−

1

a

）上是增函数，在(−

1

a

，+∞)上是减函数；
（Ⅱ）a=1时，f（x）=ln（x+1）+x
要证x∈[1，2]时，f(x)−3＜

1

x

成立，
即证明ln（x+1）+x-

1

x

-3＜0在[1，2]上恒成立，
令g（x）=ln（x+1）+x-

1

x

-3，易得函数g（x）在x∈[1，2]时单调递增
∵g（1）=0，
则g（x）≥0
∴x∈[1，2]时，f(x)−3＜

1

x

成立．