在三角形ABC中,角C=90度,内切圆O与三角形ABC三边分别切于点D,E,F.试猜想四边形OECF的形状,并说明理由

题目

在三角形ABC中,角C=90度,内切圆O与三角形ABC三边分别切于点D,E,F.试猜想四边形OECF的形状,并说明理由
2若AD=6,BD=4,求AC和圆O的半径.

答案

猜想：OECF为正方形
证明：
∵内切圆O与三角形ABC三边分别切于点D,E,F
∴OE⊥BC,OF⊥AC,
∵∠C=90°
∴OE//FC,OF//EC
∴OECF为矩形
∵OE=OF
∴OECF为正方形
设正方形边长为a
∵AD=6,BD=4
∴AB=6+4=10,
BC=BE+a=BD+a=4+a
AC=AF+a=AD+a=6+a
∴(4+a)^2+(6+a)^2=10^2
整理,得a^2+10a-24=0
解得a=2
∴AC=6+2=8
圆O的半径=a=2