统计学里的标准差和标准误有什么差别?

题目

统计学里的标准差和标准误有什么差别?

答案

在日常的统计分析中,标准差和标准误是一对十分重要的统计量,两者有区别也有联系.但是很多人却没有弄清其中的差异,经常性地进行一些错误的使用.对于标准差与标准误的区别,很多书上这样表达：标准差表示数据的离散程度,标准误表示抽样误差的大小.这样的解释可能对于许多人来说等于没有解释.
其实这两者的区别可以采用数据分布表达方式描述如下：如果样本服从均值为μ,标准差为δ的正态分布,即X～N(μ, δ2),那么样本均值服从均值为0,标准差为δ2/n的正态分布,即～ N(μ,δ2/n).这里δ为标准差,δ/n1/2为标准误.明白了吧,用统计学的方法解释起来就是这么简单.
可是,实际使用中总体参数往往未知,多数情况下用样本统计量来表示.那么,关于这两者的区别可以这样表述：标准差是样本数据方差的平方根,它衡量的是样本数据的离散程度；标准误是样本均值的标准差,衡量的是样本均值的离散程度.而在实际的抽样中,习惯用样本均值来推断总体均值,那么样本均值的离散程度（标准误）越大,抽样误差就越大.所以用标准误来衡量抽样误差的大小.
在此举一个例子.比如,某学校共有500名学生,现在要通过抽取样本量为30的一个样本,来推断学生的数学成绩.这时可以依据抽取的样本信息,计算出样本的均值与标准差.如果我们抽取的不是一个样本,而是10个样本,每个样本30人,那么每个样本都可以计算出均值,这样就会有10个均值.也就是形成了一个10个数字的数列,然后计算这10个数字的标准差,此时的标准差就是标准误.但是,在实际抽样中我们不可能抽取10个样本.所以,标准误就由样本标准差除以样本量来表示.当然,这样的结论也不是随心所欲,而是经过了统计学家的严密证明的.
在实际的应用中,标准差主要有两点作用,一是用来对样本进行标准化处理,即样本观察值减去样本均值,然后除以标准差,这样就变成了标准正态分布；而是通过标准差来确定异常值,常用的方法就是样本均值加减n倍的标准差.标准误的作用主要是用来做区间估计,常用的估计区间是均值加减n倍的标准误.