如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,点E是AD延长线上一点,DE=BC. (1)求证:∠E=∠DBC; (2)判断△ACE的形状(不需要说明理由).
题目
如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,点E是AD延长线上一点,DE=BC.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b8014a90f603738dd620bd93b01bb051f819ec1d.jpg)
(1)求证:∠E=∠DBC;
(2)判断△ACE的形状(不需要说明理由).
答案
(1)证明:
证法一:∵AD∥BC,
∴∠BCD=∠EDC,
在△BCD和△EDC中,
,
∴△BCD≌△EDC(SAS)
∴∠E=∠DBC
证法二:∵DE∥BC,DE=BC,
∴四边形BCED是平行四边形,(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
∴∠E=∠DBC.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b8014a90f603738dd620bd93b01bb051f819ec1d.jpg)
(2)△ACE是等腰三角形.
理由为:∵梯形ABCD为等腰梯形,
∴AB=DC,AC=BD,
又∵BC=CB,
∴△ABC≌△DCB,
∴∠ACB=∠DBC,
∵AE∥BC,
∴∠EAC=∠ACB,
∴∠DBC=∠EAC,
又∵∠DBC=∠E,
∴∠EAC=∠E,
∴AC=EC,
∴△ACE是等腰三角形.
(1)根据AD∥BC,得到∠BCD=∠CDE,又DE=BC,所以△BCD≌△EDC,根据全等三角形的对应角相等即可得证.
(2)根据全等三角形对应边相等得到BD=CE,又等腰梯形的对角线相等,所以AC=CE,所以是等腰三角形.
等腰梯形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定.
本题主要利用等腰梯形的性质和全等三角形的判定,利用全等三角形的对应角相等是证明两个角相等常用的方法之一,本题利用平行四边形的判定和性质证明更加简单.
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