点P(x,y)为圆C（x-4)^2+(y-5）^2=10上一动点,求x+y的最大值

题目

点P(x,y)为圆C（x-4)^2+(y-5）^2=10上一动点,求x+y的最大值

答案

易知圆C的圆心(4,5)在第一象限
令x+y=m,则x+y-m=0表示斜率为k=-1、纵横截距为m的直线系
显然直线系中与圆C外侧相切的直线的截距最大
令圆心到直线的距离为d
则相切时,d=r=√10
由点到直线的距离公式有d=|4+5-m|/√(1^1+1^2)=|9-m|/√2
于是有|9-m|/√2=√10
解得m1=9-2√5,m2=9+2√5
所以(x+y)max=9+2√5