二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3经正交变换后化为f=y2^2+2y3^2,则a,b 等于多少

题目

二次型f(x1,x2,x3)=x1^2+x2^2+x3^2+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3经正交变换后化为f=y2^2+2y3^2,则a,b 等于多少
结果都是0!是根据二次型对应的矩阵的行列式的值等于它的特征值的乘积吗?我算不出来答案呐

答案

二次型的矩阵 A=
1 a 1
a 1 b
1 b 1
由已知, A的特征值为 0,1,2
所以 |A| = -(a-b)^2 = 0
且 |A-E| = 2ab = 0
所以 a=b=0.