一个多重相关的分式二次型极值问题

题目

一个多重相关的分式二次型极值问题
求形如[TeX]{(alpha^TSigma_{21})^2}/{alpha^TSigma_{22}alpha}[/TeX],其中[TeX]alpha[/TeX]与[TeX]Sigma_{21}[/TeX]为[TeX]nxx1[/TeX]向量,[TeX]Sigma_{22}[/TeX]为[TeX]nxxn[/TeX]正定矩阵.答案为[TeX]alpha=Sigma_{22}^{-1}Sigma_{21}[/TeX]时,有极大值[TeX]Sigma_{21}^TSigma_{22}^{-1}Sigma_{21}[/TeX],

答案

设B是正定阵而且$B^2=Sigma_22,eta=Balpha$,于是变成了${(eta^T B^-1Sigma_21)^2}/{|eta|^2}$的极大值问题,即${(eta^TB^-1Sigma_21Sigma_21^T B^-1eta)}/{|eta|^2}$所以取极值时$eta$是矩阵$B^-1...