已知直线l与圆x2+y2+2x=0相切于点T,且与双曲线x2-y2=1相交于A、B两点.若T是线段AB的中点,求直线l的方程.
题目
已知直线l与圆x2+y2+2x=0相切于点T,且与双曲线x2-y2=1相交于A、B两点.若T是线段AB的中点,求直线l的方程.
答案
直线l与x轴不平行,设l的方程为 x=ky+a,代入双曲线方程 整理得(k
2-1)y
2+2kay+a
2-1=0.
而k
2-1≠0,于是
==−,从而
xT=kyT+a=−,即T(
,
).
∵点T在圆上,∴
()2+()2+=0,即k
2=a+2,
由圆心O'(-1,0),O'T⊥l 得 k
O'T•k
l=-1,则 k=0,或 k
2=2a+1.
当k=0时,由①得 a=-2,∴l 的方程为 x=-2;
当k
2=2a+1时,由①得 a=1
K=±,∴l的方程为
x=±y+1.
故所求直线l的方程为x=-2或
x=±y+1.
设l的方程为 x=ky+a,代入双曲线方程 整理,利用根与系数的关系求得点T的坐标,把点T的坐标代入圆的方程得到k2=a+2,由 O'T⊥l 得 kO'T•kl=-1,可得 k=0,或 k2=2a+1.分类讨论求得a值,即得k值,从而得到所求直线l的方程.
直线与圆锥曲线的综合问题;直线的一般式方程.
本题考查直线和圆锥曲线的位置关系,两直线垂直的性质,体现了分类讨论的数学思想,得到 k=0,或 k2=2a+1是解题的关键,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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