已知AD为三角形ABC的中线,角ADB和角ADC的平分线交AB、AC于E、F,试说明线段BE与线段CF的和大于线段EF

题目

已知AD为三角形ABC的中线,角ADB和角ADC的平分线交AB、AC于E、F,试说明线段BE与线段CF的和大于线段EF

答案

证明：延长FD到点G,使DG=DF；连接GB、GE
∵∠ADB、∠ADC的平分线分别与AB、AC交于EF
∴∠EDF=∠EDA+∠FDA=1/2∠BDA+1/2∠CDA=1/2×180=90
∴ED垂直平分GF
∴EF=EG
在△BDG和△CDF中
BD=CD,∠BDG=∠CDF,DG=DF
∴△BDG≌△CDF(SAS)
∴BG=CF
∵在△BEG中,BE+BG＞GE
∴BE+CF＞FE