求(sin α)^10+(cos α)^10的最小值?

题目

求(sin α)^10+(cos α)^10的最小值?

答案

[(sina)^2]^5+(1/2)^5+(1/2)^5+(1/2)^5+(1/2)^5>=5{[(sina)^2]^5*(1/2)^5*(1/2)^5*(1/2)^5*(1/2)^5]的5次方根
=5(sina)^2*(1/2)^4
同理[(cosa)^2]^5+(1/2)^5+(1/2)^5+(1/2)^5+(1/2)^5>=5(cosa)^2*(1/2)^4
所以(sina)^10+4*1/32+(cosa)^10+4*1/32>=(5/16)*[(sina)^2+(cosa)^2]
所以(sina)^10+(cosa)^2>=5/16-1/4=1/4
当(sina)^2=1/2且(cosa)^2=1/2即x=kπ/2+π/4时取等号
所以(sina)^10+(cosa)^10最小值=1/4
此处取1/2是因为取等号要(sina)^2=(cosa)^2
则只有(sina)^2=(cosa)^2=1/2