如图1，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD． （1）求证：△APB≌△DPC； （2）求证：∠PAC=1/2∠BAP； （3）若将原题中的正方形ABCD变为等腰梯形A

题目

如图1，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB，PB=PC，连接AC、PD．

（1）求证：△APB≌△DPC；
（2）求证：∠PAC=

1

2

答案

（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=CD，
∵BP=PC，
∴∠PBC=∠PCB，
∴∠ABP=∠DCP，
又∵AB=CD，BP=CP，
∴△ABP≌△DCP（SAS）．
（2）设∠PAC=x°，∠BAP=y°，则∠CAD=∠DCA=（60-x）°，∠PDC=y°．
由图形得，x+60=y+60-x，
∴y=2x，
∴∠PAC=

1

2

∠BAP．
（3）以D为圆心，DA为半径画圆，设∠PAC=x°，∠BAP=y°，
则∠CAD=∠DCA=（60-x）°，∠PDC=y°．
由图形得，x+60=y+60-x，
∴y=2x，
∴∠PAC=

1

2

∠BAP．