已知lim an=A,用定义证明lim an^2=A^2,前面n-->°°.

题目

已知lim an=A,用定义证明lim an^2=A^2,前面n-->°°.

答案

因为
lim an=A,
所以
{an}有界,不妨设为M
且对任意e>0,有
存在N,当n>N时
|an-A|还是刚才的e>0
|an^2-A^2|=|an+A||an-A|<(M+|A|)|an-A|<(M+|A|)e
因为e任意,则 (M+|A|)e也是任意的,不妨令e'=(M+|A|)e
即 对任意e'>0
对刚才的N,同样有n>N时
|an^2-A^2|由定义知,
lim an^2=A^2,前面n-->°°.