求函数y=sinx+cosx，x∈R的值域及y取得最小值时x的取值的集合．

题目

求函数y=sinx+cosx，x∈R的值域及y取得最小值时x的取值的集合．

答案

∵y=

2

(

2

2

sinx+

2

2

cosx)=

2

sin(x+45°)，又∵x∈R，
∴函数y的值域为[-

2

，

2

]．y取得最小值时，x+45°=k•360°+270°，k∈z，
∴x=k•360°+225°，k∈z，∴x的取值的集合为{x|x=k•360°+225°，k∈z}．

利用两角和的正弦公式，化简函数y 的解析式为

2

sin(x+45°)，故x+45°=k•360°+270°，k∈z 时，函数y有最小值，从而得到x的取值的集合．

本题考点：三角函数的最值．

考点点评：本题考查两角和的正弦公式的应用，以及正弦取的最小值的条件，化简函数的解析式是解题的关键．