曲线y=x³-ax²的切线通过点（0,1）,且过点 （0,1）的切线有两条,求a

题目

曲线y=x³-ax²的切线通过点（0,1）,且过点 （0,1）的切线有两条,求a

答案

(0,1)不在曲线上,设过此点的切线为y=kx+1,切点为(b,f(b)),k=f'(b)
y'=3x^2-2ax,将点(b,f(b))代入直线得：
f(b)=f'(b)b+1
即：b^3-ab^2=(3b^2-2ab)b+1
即p(b)=2b^3-ab^2+1=0 有两个不等实根,因此其中一个必为重根.
有重根,则此根也是导数为0时的根
p'(b)=6b^2-2ab=0--> b=0 or a/3
因为p(0)=1,因此b=0不是 p(b)的根
因此重根只能为b=a/3,
所以由p(a/3)=2a^3/27-a^3/9+1=0,解得a=3