泛函分析有界线性算子的各种收敛定义

题目

泛函分析有界线性算子的各种收敛定义

答案

比如X和Y是Banach空间,M和M_n：X-->Y是线性算子,n=1,2,……
如果对于任何x in X,y in Y^*（Y的对偶空间）,有收敛到（这个是在实数或者复数域内）,那么称为M_n弱收敛到M.
如果对于任何x in X,有M_n x收敛到Mx（按X中的范数）,那么称为M_n强收敛到M.
所有的M_n和M都是L(X,Y)中的元素,而L(X,Y)本身也有范数,如果在这个范数下,M_n收敛到M,那么称为依范数收敛.
稍注意一下,以上三种收敛都是指 『算子』 的收敛.（如果只是给了一个Banach空间的话,其中元素的收敛只有强弱两种）
对于这三种收敛,依范数收敛可以推出强收敛,强收敛可以推出弱收敛.一般情况下都不能反过来.