证明下列极限：lim（x→2）（x³-8）/(x-2)=12

题目

证明下列极限：lim（x→2）（x³-8）/(x-2)=12
lim（x→﹢∞）（1/x）sin(1/x)=0
lim(x→0)xsin(1/x)=0
证明：若lim（x→﹢∞）f(x)=0.且g(x)在（a,﹢∞）有界,则lim（x→﹢∞）f(x)g(x)=0
需要完整的证明过程,

答案

lim（x→2）（x³-8）/(x-2)=lim（x→2） (x-2)(x^2+2x+4)/(x-2)=lim（x→2）(x^2+2x+4)=4+4+4=12
lim（x→﹢∞）（1/x）sin(1/x)=lim（t→0）tsin(t)=o,因为t→0,t和sin(t)都是趋于0
lim(x→0)xsin(1/x)=0因为x→0,X为0.sin(1/x)为一个不确定的值,两者相乘,结果为0,
证明题考虑无穷小量与有界函数的极限定理.