关于x的方程x^2-x cosA cosB+2sin^2(c/2)=0的两根之和等于两根之积的一半,则三角形ABC一定是什么三角形

题目

关于x的方程x^2-x cosA cosB+2sin^2(c/2)=0的两根之和等于两根之积的一半,则三角形ABC一定是什么三角形

答案

套韦达定理得cosAcosB=sin²(C/2),
两边分别积化和差得(1/2)[cos(A+B)+cos(A-B)]=(1/2)(I-cosC),
在△ABC中cosC=-cos(A+B),代入上式得
1/2)[cos(A+B)+cos(A-B)]=(1/2)[1+cos(A+B)],
∴cos(A-B)=1,那么A=B,
△ABC一定是等腰三角形.