在三角形ABC中,D为BC的中点,已知AB=向量a,AC=向量b,（1）试用向量a,向量b表示向量AD.

题目

在三角形ABC中,D为BC的中点,已知AB=向量a,AC=向量b,（1）试用向量a,向量b表示向量AD.
（1）试用向量a,向量b表示向量AD.（2）若点G是三角形ABC的重心,能否用向量a,向量b表示向量AG.（3）若点G是三角形ABC的重心,那么向量GA+向量GB+向量GC=.

答案

（1）因为 D 为 BC 的中点,所以 BD+CD=0 ,
由于 AD=AB+BD ,AD=AC+CD ,
两式相加得 2AD=AB+AC ,
所以 AD=1/2*(AB+AC)=a/2+b/2 .
（2）因为 G 是三角形的重心,因此 G 在 AD 上,且 AG=2/3*AD ,
所以 AG=a/3+b/3 .
（3）由（2）得 GA= -1/3*(AB+AC) ,
同理可得 GB= -1/3*(BA+BC) ,GC= -1/3*(CA+CB) ,
三式相加得 GA+GB+GC= -1/3*(AB+AC+BA+BC+CA+CB)= 0 (向量) .