如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD. (Ⅰ)证明:BD⊥PC; (Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥
题目
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(Ⅰ)证明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.
答案
(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴PA⊥BD;
又AC⊥BD,PA,AC是平面PAC内的两条相交直线,
∴BD⊥平面PAC,而PC⊂平面PAC,∴BD⊥PC;
(Ⅱ)设AC∩BD=O,连接PO,由(Ⅰ)知BD⊥平面PAC,
∴∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角,
∴∠DPO=30°,
由BD⊥平面PAC,PO⊂平面PAC知,BD⊥PO.在Rt△POD中,由∠DPO=30°得PD=2OD.
∵四边形ABCD是等腰梯形,AC⊥BD,
∴△AOD,△BOC均为等腰直角三角形,从而梯形ABCD的高为
AD+
BC=
×(4+2)=3,
于是S
ABCD=
×(4+2)×3=9.
在等腰三角形AOD中,OD=
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程. 我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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