设f(x)=e^x-ln(x-a),若f(x)大于等于0恒成立,求a的取值范围.

题目

设f(x)=e^x-ln(x-a),若f(x)大于等于0恒成立,求a的取值范围.

答案

答：
f(x)=e^x-ln(x-a)>0,x-a>0,x>a
求导得：
f'(x)=e^x-1/(x-a)
令f'(x)=0,即e^x=1/(x-a)>0,假设x=m>a满足e^m=1/(m-a).
所以：m-a=e^(-m)
当a0,f(x)是增函数.
所以：x=m>a是f(x)的最小值点,f(x)>=f(m)=e^m-ln(m-a)>0
所以：e^m-ln[e^(-m)]>0
所以：e^m+m>0
所以：m>-e^m
因为：m-a=e^(-m)
所以：a=m-e^(-m)>-e^m-e^(-m)=-[e^m+e^(-m)]
因为：e^m+e^(-m)>=2
所以：-[e^m+e^(-m)]最大值为-2
所以：a>-2