如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,动点P从B点出发沿着BC向C移动,速度为每秒2个单位,动点Q从点C出发沿CD向D出发,速度为每秒1个单位,几秒后由C、P、Q三点组成的三角形与△ABC相似?这
题目
如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,动点P从B点出发沿着BC向C移动,速度为每秒2个单位,动点Q从点C出发沿CD向D出发,速度为每秒1个单位,几秒后由C、P、Q三点组成的三角形与△ABC相似?这时线段PQ与AC的位置关系如何?请说明理由.
答案
要使两个三角形相似,由∠B=∠PCQ
∴只要
=或者
=∵AB=6,BC=8
∴只要
=或者=设时间为t
则PC=8-2t,CQ=t
∴t=
或者t=
;
①当t=
时,△ABC∽△PCQ,PQ⊥AC
理由:△ABC∽△PCQ
∴∠BAC=∠CPQ
∵∠BAC+∠ECP=90°,
∴∠EPC+∠ECP=90°
即PQ⊥AC;
②当t=
,△ABC∽△QCP,AC平分PQ
理由:△ABC∽△QCP
∴∠BAC=∠CQP,∠ACB=∠QPC
∴∠QCE=∠EQC,∠ACB=∠QPC
∴PE=EQ=CE
即AC平分PQ.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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