x,y,z为正数,x+y+z=3/（xyz）.1.求x+y+z最小值.2.若xyz=3,x^2+2y^2+z^2=1,求x的范围

题目

x,y,z为正数,x+y+z=3/（xyz）.1.求x+y+z最小值.2.若xyz=3,x^2+2y^2+z^2=1,求x的范围

答案

1.数学平均数>=调和平均数
即(x+y+z)>=(x^-1+y^-1+z^-1)^-1
化简,并带入xyz=3/(x+y+z)
得到,(x+y+z)^3>=27
所以x+y+z的最小值为3,即x=y=z=1的时候
2.xyz=3,即x+y+z=1,且x^2+2y^2+z^2=1
(x+y+z)^2=1 x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=1
所以 y^2=2xy+2yz+2xz(带入x^2+2y^2+z^2=1）
所以 y^2-(2x+2z)y-2xz=0
3y^2-2y+6/y=0 (带入xyz=3和x+y+z=1)
即3y^3-2y^2+6=0
接下来可以画图,也可以证明这个方程是没有解的
另外三个正数的和为1,那么这三个数肯定都是小数,那么三个数的积怎么可能为3呢
所以方程无解,x的范围是空集.