已知f(x)=x2-2ax+1,x∈[-1,1],记函数f(x)的最大值为g(a),a∈R. (1)求g(a)的表达式; (2)若对一切a∈R,不等式g(a)≥ma-a2恒成立,求实数m的取值范围.
题目
已知f(x)=x2-2ax+1,x∈[-1,1],记函数f(x)的最大值为g(a),a∈R.
(1)求g(a)的表达式;
(2)若对一切a∈R,不等式g(a)≥ma-a2恒成立,求实数m的取值范围.
答案
(1)∵f(x)=(x-a)
2+1-a
2,x∈[-1,1],
∴当a≥0时,g(a)=f(-1)=2+2a;
当a<0时,g(a)=f(1)=2-2a;
∴
g(a)=…(6分)(对一个式子得3分)
(2)∵对一切a∈R,不等式g(a)≥ma-a
2恒成立,
∴当a=0时,g(a)≥ma-a
2恒成立,m∈R…(8分)
当a>0时,2+2a≥ma-a
2恒成立,
解得
m≤a++2恒成立
∵
a++2的最小值为
2+2,(1分)
∴
m≤2+2…(10分)
当a<0时,2-2a≥ma-a
2恒成立,
解得
m≥a+-2恒成立,(12分)
∵
a+-2的最大值为
-2-2∴
m≥-2-2综上所述
m∈[-2-2,2+2].(14分)
(1)由f(x)的解析式,找出对称轴为直线x=a,然后找出区间的中点为0,分a大于等于0和a小于0两种情况,分别求出g(a),由此得到g(a)关于a的分段函数关系式.
(2)由对一切a∈R,不等式g(a)≥ma-a2恒成立,根据a的符号进行分类讨论,能求出实数m的取值范围.
函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法.
本题考查函数的解析式的求法,考查实数的取值范围的求法.解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用.
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