A,B,C是不相等的正整数,A^3B-AB^3,B^3C-BC^3,C^3A-CA^3至少有一个数能被10整除

题目

A,B,C是不相等的正整数,A^3B-AB^3,B^3C-BC^3,C^3A-CA^3至少有一个数能被10整除

答案

1、三个数均能被2整除,证明如下：
以A^3B-AB^3为例,A^3B-AB^3 = AB(A+B)(A-B),
A或B至少有一个偶数,则该数必定被2整除
A或B全是奇数,则(A+B)和(A-B)为偶数,该数必定被2整除
因此问题简化为至少有一个数能被5整除
2、设A、B、C中至少有一个为5的倍数,根据第一步中的化简式,则对应的数必定被5整除
3、设A、B、C中没有5的倍数,则三个数可以用以下形式表示：
A = 5x + a
B = 5y + b
C = 5z + c
其中 x、y、z为整数,a、b、c为1到4的整数
4、若a、b、c中有两个相等,例如a=b,则A和B的差值必定为5的倍数、对应表达式必定可以被10整除
5、若a、b、c均不相等,则只有以下3种组合情况（简化起见,用a