在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知c=2a，C＝π4．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求cos(2A−π3)的值．

题目

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知c=2a，C＝

π

4

．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）求cos(2A−

π

3

)的值．

答案

（Ⅰ）因为c=2a，C=

π

4

，
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：sinA=

2

4

．（5分）
（Ⅱ）因为sinA=

2

4

，c=2a可知a<c，A<

π

4

．
则cosA=

1-sin2A

=

14

4

.sin2A=2sinAcosA=

7

4

，cos2A=2cos2A-1=

3

4

．
则cos(2A-

π

3

)=cos2Acos

π

3

+sin2Asin

π

3

=

3+ 21

8

．（13分）

（I）由c=2a，C＝

π

4

，利用正弦定理

a

sinA

＝

c

sinC

可求
（II）结合c=2a可知a＜c，可知A为锐角，利用同角平方关系可求cosA，代入二倍角公式可求sin2A，cos2A，y要求cos(2A−

π

3

)的值．只要用差角的余弦公式展开代入即可求

本题考点：解三角形；三角函数的恒等变换及化简求值．

考点点评：本题主要考查了正弦定理，三角形的大边对大角，同角平方关系，二倍角的正弦、余弦公式及两角差的余弦公式的综合运用．