如图，已知点M、N分别在等边△ABC（等边三角形满足三边都相等，三内角都等于60°）的边BC、CA上，AM、BN交于点Q，且∠AQN=60°． 求证：AM=BN．

题目

如图，已知点M、N分别在等边△ABC（等边三角形满足三边都相等，三内角都等于60°）的边BC、CA上，AM、BN交于点Q，且∠AQN=60°．
求证：AM=BN．

答案

证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
∴∠CBN+∠ABN=60°，
∵∠AQN=∠BAM+∠ABN=60°，
∴∠BAM=∠CBN．
在△ABM与△BCN中，

∠ABC＝∠C AB＝BC ∠BAM＝∠CBN

，
∴△ABM≌△BCN（ASA），
∴AM=BN．

先由等边三角形的性质得出AB=BC，∠ABC=∠C=60°，再结合三角形外角的性质证明∠BAM=∠CBN．然后由ASA得出△ABM≌△BCN，根据全等三角形的对应边相等即可证明AM=BN．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

考点点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，难度适中，根据等边三角形及三角形外角的性质证明出∠BAM=∠CBN是解题的关键．