已知a,b,c为实数,有 log10(10^a+10^b)=a+b,log10(10^a+10^b+10^c)=a+b+c,求c的最大值.^表示乘方,次方

题目

已知a,b,c为实数,有 log10(10^a+10^b)=a+b,log10(10^a+10^b+10^c)=a+b+c,求c的最大值.^表示乘方,次方

答案

记 x=10^a,y=10^b,t=10^c,则 x、y、t均为正数,
由已知可得 10^a+10^b=10^(a+b)=10^a*10^b,所以 x+y=x*y
由 xy=x+y>=2√(xy) 得 xy>=4.
同理有 x+y+t=x*y*t,
所以 xy+t=xyt,
解得 xy=t/(t-1).
由 xy>=4 得 t/(t-1)>=4,
(4-3t)/(t-1)>=0,所以 1