求函数y=x+√(5-x^2)的值域 用三角换元的方式如何解?

求函数y=x+√(5-x^2)的值域 用三角换元的方式如何解?

题目
求函数y=x+√(5-x^2)的值域 用三角换元的方式如何解?
答案
函数定义域为[-√5,√5]
令x=√5cosα,α∈[0,π]
则y=√5cosα+|√5sinα|
=√5cosα+√5sinα
=√10sin(α+π/4)
∵α∈[0,π]
∴α+π/4∈[π/4,5π/4]
sin(α+π/4) ∈[-√2/2,1 ]
∴函数的值域为[-√5,√10 ].
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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