若f(x)满足f(xy)= f(x) + f(y),据此能否推出f(x/y)= f(x) — f(y)?

题目

若f(x)满足f(xy)= f(x) + f(y),据此能否推出f(x/y)= f(x) — f(y)?

答案

如果f(xy)=f(x)+f(y)只对特殊的x,y成立则不能；如果对任意x,y都成立则可以,证明如下：
令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0；
令x=1/y,得f(1/y)+f(y)=f((1/y)*y)=f(1)=0,所以f(1/y)=-f(y)；
从而f(x/y)=f(x*(1/y))=f(x)+f(1/y)=f(x)-f(y)
To unusduotres:
Hemel的结果是：
1.满足f(xy)=f(x)+f(y)的函数不一定连续,所以不一定是对数函数（Cauchy证明了连续解一定是对数函数）；
2.满足f(xy)=f(x)+f(y)的函数如果在某一点不连续则一定“完全不连续”；
3.用选择公理实际构造了一个满足f(xy)=f(x)+f(y)但不连续的函数.
但即使解不连续（不是对数函数）,f(x/y)=f(x)-f(y) 还是满足的,上面就是证明过程,并没有用到f连续的条件