若f(x)满足f(xy)= f(x) + f(y),据此能否推出f(x/y)= f(x) — f(y)?

若f(x)满足f(xy)= f(x) + f(y),据此能否推出f(x/y)= f(x) — f(y)?

题目
若f(x)满足f(xy)= f(x) + f(y),据此能否推出f(x/y)= f(x) — f(y)?
答案
如果f(xy)=f(x)+f(y)只对特殊的x,y成立则不能;如果对任意x,y都成立则可以,证明如下:
令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0;
令x=1/y,得f(1/y)+f(y)=f((1/y)*y)=f(1)=0,所以f(1/y)=-f(y);
从而f(x/y)=f(x*(1/y))=f(x)+f(1/y)=f(x)-f(y)
To unusduotres:
Hemel的结果是:
1.满足f(xy)=f(x)+f(y)的函数不一定连续,所以不一定是对数函数(Cauchy证明了连续解一定是对数函数);
2.满足f(xy)=f(x)+f(y)的函数如果在某一点不连续则一定“完全不连续”;
3.用选择公理实际构造了一个满足f(xy)=f(x)+f(y)但不连续的函数.
但即使解不连续(不是对数函数),f(x/y)=f(x)-f(y) 还是满足的,上面就是证明过程,并没有用到f连续的条件
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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