非齐次线性方程的通解是对应齐次线性方程的通解加非齐次线性方程的特解,求该结论的证明

题目

非齐次线性方程的通解是对应齐次线性方程的通解加非齐次线性方程的特解,求该结论的证明
该方程为微分方程，参见高数上策，高手进。。

答案

已知：α是Ax=0的通解,β是Ax=b的一个特解
证明：α+β是Ax=b的通解
证：∵α是Ax=0的通解,β是Ax=b的一个特解
∴Aα=0,Aβ=b
∴A(α+β)=Aα+Aβ=b
∵α是Ax=0的通解
∴r(α)=n-r(A)
∴r(α+β)=n-r(A)
∴α+β是Ax=b的通解