即证明复合函数的连续性
题目
即证明复合函数的连续性
诺函数f(x)在点x0上连续,g(u)在点u0上连续,且uo=f(x0),证明函数
g[f(x)]在点xo上连续.
答案
课本上的定理!可以直接使用.如果要证明的话,就是用函数的定义.
对于任意给定的任意小的正数ε,因为g(u)在点u0上连续,所以存在η>0,当|u-u0|<η时,|g(u)-g(u0)|<ε.
对于正数η,因为u=f(x)在点x0上连续,所以存在δ>0,当|x-x0|<δ时,|f(x)-f(x0)|<η,即|u-u0|<η.
所以,当|x-x0|<δ时,|g(u)-g(u0)|<ε,即|g[f(x)]-g[f(x0)]|<ε
所以,g[f(x)]在点xo上连续
举一反三
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