在Rt三角形ABC中,角C=90度,角A,角B,角C所对的边分别为a,b,c,且Rt三角形ABC的周长为2根号3+5,斜边上的中线长为2,求S三角形ABC与斜边上的高h

题目

在Rt三角形ABC中,角C=90度,角A,角B,角C所对的边分别为a,b,c,且Rt三角形ABC的周长为2根号3+5,斜边上的中线长为2,求S三角形ABC与斜边上的高h

答案

设斜边的中点为D,则CD为中线,CD=2.
由点D向AC做平行线交AC于点E,因为D为AB的中点,角C=90度,所以三角形DCE为Rt三角形,点E为AC的中点,EC=AC/2=b/2,DE=BC/2=a/2.
由勾股定理,知EC^2+DE^2=CD^2,即（b/2)^2+(a/2)^2=2^2=4,解得a^2+b^2=16
Rt三角形ABC中,a^2+b^2=c^2=16,所以c=4
因为a+b+c=2√3+5,则a+b=2√3+5-c=2√3+1,（a+b)^2=a^2+b^2+2ab=16+2ab=(2√3+1)^2,解得
ab=（4√3-3)/2
三角形ABC的面积=c*h/2=4h/2=ab/2=（4√3-3)/4,
由上式得4h=ab,解得斜边上的高h=ab/4=(4√3-3)/8