三角形三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设向量m=(c-a,b-a),n=(a+b,c)

题目

三角形三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设向量m=(c-a,b-a),n=(a+b,c)
若向量m平行于向量n,求角B的大小;求sinA+sinC的取值范围

答案

（1）m=(c-a,b-a),n=(a+b,c)
向量m平行于向量n
则（c-a）*c=（b-a）*（a+b）
b^2=c^2+a^2-ac
又b^2=c^2+a^2-accos∠B
cos∠B =1/2
所以∠B =60°
（2）sinA+sinC
=sinA+sin（120°-A）
=sinA+sin120°*cosA-cos120°*sinA
=sinA+√3/2*cosA+1/2*sinA
=√3/2*cosA+3/2*sinA
=√3(1/2*cosA+√3/2*sinA)
=√3(sin30°*cosA+cos30° *sinA)
=√3sin(A+30°)
因为A∈（0°,120°）
A+30°∈（30°,150°）
sin(A+30°)∈（1/2,1]
√3sin(A+30°)∈（√3/2,√3]
所以sinA+sinC )∈（√3/2,√3]