设f（x）在区间[a，b]上连续，在（a，b）可导，证明：在（a，b）内至少存在一点ξ，使bf(b)-af(a)b-a=f（ξ）+ξf′（ξ）．

题目

设f（x）在区间[a，b]上连续，在（a，b）可导，
证明：在（a，b）内至少存在一点ξ，使

bf(b)-af(a)

b-a

答案

构造辅助函数：F（x）=xf（x），
则：F（x）在[a，b]连续，在（a，b）可导，
从而F（x）满足拉格朗日中值定理，
则：在（a，b）内至少存在一点ξ，
使得：

F(b)-F(a)

b-a

=F′(ξ)，
而：F′（x）=f（x）+xf′（x），
∴

bf(b)-af(a)

b-a

=f（ξ）+ξf′（ξ），
证毕．