六边形ABCDEF中角A=角B=角C=角D=角E=角F=120°,求证：AB－DE=EF－BC=CD－FA

题目

六边形ABCDEF中角A=角B=角C=角D=角E=角F=120°,求证：AB－DE=EF－BC=CD－FA

答案

延长AB,BA,CD,DC,EF,FE.AB.AB,DC交于X.CD,FE交于Y.EF,BA交于Z.
由题意可得ΔBCX,ΔDEY,ΔAFZ为正Δ
则ΔXYZ也为正Δ
∴XY=YZ=XZ
则XC+CD+DY=YE+EF+FZ=ZA+AB+BY
∴BC+CD+DE=DE+EF+AF=AF+AB+BC
∴CD-FA+DE=EF-BC+DE(BC+CD+DE=DE+EF+AF)
AB-DE+AF=EF-BC+AF(DE+EF+AF=AF+AB+BC)
∴CD-FA=EF-BC
AB-DE=EF-BC
∴AB－DE=EF－BC=CD－FA