关于剩余原理的问题

题目

关于剩余原理的问题
一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是多少?在1000内符合这样条件的数有几个?
【解析】题中3、7、8三个数两两互质.
则〔7,8〕=56；〔3,8〕=24；〔3,7〕=21；〔3,7,8〕=168.
为了使56被3除余1,用56×2=112；
使24被7除余1,用24×5=120；
使21被8除余1,用21×5=105；
然后,112×2＋120×4＋105×5=1229.
因为,1229>168,所以,1229－168×7=53,就是所求的数.
再用(1000-53)/168得5, 所以在1000内符合条件的数有5个.
其中56,24,21是如何确定哪个数被3除,哪个数被7除,哪个数被8除?而最后的168为何是乘7?
还有一个问题就是“再用(1000-53)/168得5, 所以在1000内符合条件的数有5个.”这句话中的做法是根据什么原理?
麻烦详细解释下哈,谢谢

答案

两个数相乘被第三个数除,比如7、8乘为56,就除3；3、7乘为21,就除8等等.为什么乘7,实际上是看余数,要小于除数（168）,此题中余数小于168时商正好是7.
这句话的根据就是同余原理,A除以B的余数,与（A+Bn）除以B的余数相同(n为整数),而168是3、7、8的最小公倍数,所以找到了一个满足题目的数字,在其基础上加减168（同时为3者的倍数）,被3、7、8除的余数不变.