椭圆a=√2,b=1,一经过左焦点的直线交椭圆与MNl两点.右焦点到MN到距离和为3/2倍的√2,求该直线方程

题目

椭圆a=√2,b=1,一经过左焦点的直线交椭圆与MNl两点.右焦点到MN到距离和为3/2倍的√2,求该直线方程

答案

应改为：右焦点到MN到距离和为8/3倍的√2,数值才好计算.
椭圆方程为x²/2+y²=1,
设过左焦点的直线为y=k(x+1),与椭圆方程联立并消去y得：
x²/2+ k² (x+1) ² =1, (1+2k²)x²+4k²x+2k²-2=0,
判别式△=16k^4-4(1+2k²) (2k²-2)=8(k²+1).
M、N两点到焦点的距离之和为4a=4√2,
右焦点到M、N到距离和为8√2/3.
所以|MN|=4√2-8√2/3=4√2/3.
根据弦长公式得：|MN|=√(1+k²)•√△/|A|
=√(1+k²)•√[8(k²+1)]/ (1+2k²)
=2√2(k²+1) / (1+2k²) =4√2/3.
K=±1,
所求直线方程为y=±(x+1).