在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,过点C作CE⊥BD交BD的延长线于点E,交BA的延长线于点F

题目

在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,过点C作CE⊥BD交BD的延长线于点E,交BA的延长线于点F
连接DF.求证BD=CF

答案

证明：延长BA、CE,两线相交于点F
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∴BD=2CE