当S服从几何分布时,E[S(S-1)]怎么计算

题目

当S服从几何分布时,E[S(S-1)]怎么计算

答案

设S服从参数为p的几何分布,即S的分布律为：
P(S=k)=p(1-p)^(k-1),k=1,2,...
S的数学期望和方差分别为E(S)=1/p,Var(S)=(1-p)/p^2,由此得
E[S(S-1)]=E(S^2)-E(S)=[Var(S)+(E(S))^2]-E(S)
=(1-p)/p^2+1/p^2-1/p=2(1-p)/p^2