高数定积分证明题,

题目

高数定积分证明题,
求证：若f(x)在负无穷到正无穷内连续且为偶函数,则定积分(上限a,下限-a)f(x)dx=2定积分(上限a下限0)f(x)dx

答案

偶函数表示f(x)=f(-x)
左=定积分(上限a,下限-a)f(x)dx
=定积分(上限0,下限-a)f(x)dx+定积分(上限a,下限0)f(x)dx
第一个积分中令x=-x
上下限变为上限0,下限a,d(-x)=-dx
=定积分(上限0,下限a)f(-x)(-dx)+定积分(上限a,下限0)f(x)dx
=-定积分(上限0,下限a)f(x)dx+定积分(上限a,下限0)f(x)dx
上下限交换会改变符号
=定积分(上限a,下限0)f(x)dx+定积分(上限a,下限0)f(x)dx
=2定积分(上限a,下限0)f(x)dx=右