已知,菱形ABCD的周长为20,对角线AC,BD的长是关于x的方程x2-(4m-2)x+16(m-1)=0的两个根,求菱形的内切圆S

题目

已知,菱形ABCD的周长为20,对角线AC,BD的长是关于x的方程x2-(4m-2)x+16(m-1)=0的两个根,求菱形的内切圆S

答案

菱形周长为20,则边长为5;
设AC=2a,BD=2b.由于菱形对角线互相垂直平分,则:
a^2+b^2=25;……………………(1)
又AC,BD的长是方程的两根,依据根与系数的关系可知:
2a+2b=4m-2,则：a+b=2m-1;…………………(2)
2a*2b=16(m-1).则:ab=4(m-1) ……………(3)
所以:(a+b)^2=(2m-1)^2;
a^2+b^2+2ab=(2m-1)^2;即:25+8(m-1)=(2m-1)^2,
解之得:m=4或-1.(m=-1,不合题意,舍去)
故原方程为:X^2-14X+48=0,解之得:X1=6,X2=8.
即2a=6,2b=8;(或2a=8,2b=6).
a=3,b=4(或a=4,b=3)
由面积关系,可知内切圆半径R=3*4/5=12/5.
则S内切圆=兀R^2=(144兀)/25.