已知数列an的各项都是正数,且对任意n∈N都有a1的3次方+a2的3次方+a3的3次方+an的3次方=sn平方+2sn

题目

已知数列an的各项都是正数,且对任意n∈N都有a1的3次方+a2的3次方+a3的3次方+an的3次方=sn平方+2sn
1 求a1,a2 2求数列an的通项公式

答案

1,当n=1时,a1³=a1²+2a1,因为a1为正,两边除以a1有,a1²-a1-2=0,a1=2.
当n=2时,a1³+a2³=（a1+a2）²+2（a1+a2）,代入a1并化简得,a2²-a2-6=0,a2=3.
2,a1³+a2³+.+an³=Sn²+2Sn,a1³+a2³+.+a（n-1）³=S（n-1）²+2S（n-1）,两式相减有,an³=an[Sn+S（n-1）]+2an,两边除以an,an²=Sn+S（n-1）+2=2Sn-an+2,所以an²+an=2Sn+2,所以a（n-1）²+a（n-1）=2S（n-1）+2,两式相减有an²+an-a（n-1）²-a（n-1）=2an,移项化简有,an²-an-a（n-1）²-a（n-1）=0,an²-a（n-1）²-=an+a（n-1）,an、a（n-1）都为正,那么两边除以an+a（n-1）有an-a（n-1）=1,所以数列｛an｝是首项为2,公差为1的等差数列,通项公式an=2+（n-1）×1=n+1.